Историческая справка
Критерий Келли появился не в мире инвестиций, как можно было бы подумать, а в сфере телекоммуникаций. В 1956 году Джон Ларри Келли-младший, работая в Bell Labs, опубликовал статью под названием «A New Interpretation of Information Rate». В ней он предложил математическую формулу, позволяющую максимизировать рост капитала за счёт оптимального распределения ставок. Интересно, что изначально формула предназначалась для улучшения передачи сигналов по телефонным линиям, но вскоре её подхватили игроки на ставках и трейдеры.
Самыми известными популяризаторами критерия стали Эдвард Торп и Билл Гросс. Торп применял его в блэкджеке и на фондовом рынке, а Гросс использовал в управлении инвестициями. Это подтверждает: хотя корни у Келли технические, его применение – вполне практическое.
Базовые принципы
Что такое критерий Келли?
Проще говоря, критерий Келли – это способ рассчитать, какую долю своего капитала стоит вложить в сделку с положительным математическим ожиданием. Он помогает найти золотую середину между жадностью и осторожностью. Идея не в том, чтобы выиграть всё сразу, а в том, чтобы оптимально наращивать капитал на длинной дистанции.
Формула выглядит так:
f = (bp - q) / b
Где:
- f – доля капитала, которую стоит вложить;
- b – чистый выигрыш на единицу ставки (например, если вы получаете 2 рубля за 1 рубль ставки, то b = 1);
- p – вероятность выигрыша;
- q – вероятность проигрыша (1 - p).
Почему это работает?
Критерий Келли основан на логарифмическом росте. Он стремится максимизировать ожидаемое значение логарифма капитала, что в долгосрочной перспективе приводит к наибольшему росту. В отличие от фиксированной ставки или мартингейла, Келли учитывает не только вероятность выигрыша, но и соотношение выигрыша к риску.
Примеры реализации
Чтобы не быть голословными, рассмотрим несколько ситуаций, где критерий Келли можно применить на практике.
1. Пример со ставками
Допустим, вы нашли ставку с коэффициентом 2.5, а вероятность выигрыша по вашей оценке — 50%. Подставим значения в формулу:
- b = 1.5 (потому что ставка 2.5 значит чистая прибыль 1.5)
- p = 0.5
- q = 0.5
f = (1.5 * 0.5 - 0.5) / 1.5 = (0.75 - 0.5) / 1.5 = 0.25 / 1.5 ≈ 0.1667
То есть, стоит поставить примерно 16.67% от вашего капитала. Это не кажется много, но помните: цель — не сорвать куш, а стабильно наращивать банк.
2. Пример в трейдинге
Предположим, у вас есть стратегия с вероятностью успешной сделки 60%, и среднее соотношение риск/прибыль — 1:2. Это значит, вы рискуете 1%, чтобы заработать 2%.
- b = 2
- p = 0.6
- q = 0.4
f = (2 * 0.6 - 0.4) / 2 = (1.2 - 0.4) / 2 = 0.8 / 2 = 0.4
Таким образом, оптимальный риск на сделку — 40% от капитала. Но будьте осторожны: на практике трейдеры часто используют половину от Келли (т.н. «fractional Kelly»), чтобы снизить волатильность.
Частые заблуждения
1. «Келли — это способ быстро разбогатеть»
Нет. Наоборот, критерий Келли — это стратегия для терпеливых. Он не обещает мгновенную прибыль, а минимизирует риск банкротства при максимизации роста капитала в долгосрочной перспективе.
2. «Если вероятность точно 50%, Келли всё равно подскажет, сколько ставить»
Это ошибка. Если p = 0.5 и b = 1 (т.е. равные шансы и равная выплата), то:
f = (1 * 0.5 - 0.5) / 1 = 0 / 1 = 0
То есть, Келли говорит: не ставь вообще. Он работает только при наличии математического преимущества.
3. «Я могу точно определить p и b»
На практике это крайне сложно. Особенно в трейдинге или ставках. Поэтому многие используют усечённый Келли — например, рискуют только половиной от рассчитанного значения. Это снижает влияние ошибок в оценке вероятностей.
4. «Келли — это универсальный метод»
Хотя он математически оптимален, он подходит не всем. Некоторым проще использовать фиксированный риск, особенно если они не уверены в оценке вероятностей. Келли — лишь инструмент, а не панацея.
Как применять на практике: пошагово
1. Оцените вероятность успеха (p): используйте исторические данные, статистику или собственную аналитику.
2. Определите соотношение выигрыша к риску (b): сколько вы зарабатываете на выигрыш по сравнению с проигрышем.
3. Подставьте в формулу и рассчитайте f: это будет доля капитала, которую стоит вложить.
4. Корректируйте f при необходимости: если не уверены в оценках, используйте половину или четверть от f.
5. Применяйте последовательно: Келли работает только на длинной дистанции. Не меняйте подход после пары неудач.
Заключение
Критерий Келли — это мощный инструмент для тех, кто хочет подходить к риску рационально. Он помогает избежать как излишней агрессии, так и чрезмерной осторожности. Но его сила — в правильных оценках и дисциплине. Если вы сможете объективно оценивать вероятности и придерживаться стратегии, Келли станет вашим союзником в мире неопределённости.